א סיסטעם פון לינעאַר אַלדזשאַבריייק יקווייזשאַנז. כאָומאַדזשיניאַס סיסטעם פון לינעאַר אַלדזשאַבריייק יקווייזשאַנז

אין שולע, יעדער פון אונדז געלערנט די יקווייזשאַן און, אַוואַדע, די סיסטעם פון יקווייזשאַנז. אבער נישט פילע מענטשן וויסן אַז עס זענען עטלעכע וועגן צו סאָלווע זיי. הייַנט מיר וועלן זען פּונקט אַלע די מעטהאָדס פֿאַר סאַלווינג אַ סיסטעם פון לינעאַר אַלדזשאַבריייק יקווייזשאַנז, וואָס זענען קאַמפּאָוזד פון מער ווי צוויי יקווייזשאַנז.

געשיכטע

הייַנט מיר וויסן אַז די קונסט פון סאַלווינג יקווייזשאַנז און זייער סיסטעמען ערידזשאַנייטאַד אין אלטע בבל און מצרים. אָבער, יקוואַלאַטי אין זייער באַקאַנט פאָרעם באוויזן צו אונדז נאָך די פּאַסירונג פון די גלייַך צייכן "=", וואָס איז געווען באַקענענ אין 1556 דורך ענגליש מאַטעמאַטיקער רעקאָרד. דורך דעם וועג, דעם סימבאָל איז אויסדערוויילט פֿאַר אַ סיבה: עס מיטל צוויי פּאַראַלעל גלייַך סעגמאַנץ. טאקע, דער בעסטער בייַשפּיל פון יקוואַלאַטי טוט ניט קומען אַרויף.

דער גרינדער פון מאָדערן לעטערינג און סימבאָלס פון אומבאַקאַנט מאָס, די פראנצויזיש מאַטעמאַטיקער פראַנסואַ וויעט. אָבער, זייַן באַצייכענונג איז באטייטיק אַנדערש פון הייַנט. למשל, אַ קוואַדראַט פון אַן אומבאַקאַנט נומער ער דעזיגנייטיד דורך די בריוו ק (לאַט "קוואַדראַטוס".), און די קוב - די בריוו C (לאַט "קובוס".). די סימבאָלס איצט ויסקומען ומבאַקוועם, אָבער דעמאָלט עס איז געווען די מערסט ינטואַטיוו וועג צו שרייַבן אַ סיסטעם פון לינעאַר אַלדזשאַבריייק יקווייזשאַנז.

אָבער, אַ כיסאָרן אין די פּריוויילינג מעטהאָדס פון לייזונג איז געווען אַז מאַטאַמאַטישאַנז האָבן געהאלטן בלויז די positive רוץ. טאָמער דאָס איז רעכט צו דער פאַקט אַז נעגאַטיוו וואַלועס טאָן ניט האָבן קיין פּראַקטיש אַפּלאַקיישאַן. איין וועג אָדער אנדערן, אָבער דער ערשטער צו זיין געהאלטן נעגאַטיוו רוץ אנגעהויבן נאָך דער איטאַליעניש מאטעמאטיק ניקקאָלאָ טאַרטאַגליאַ, געראָלאַמאָ Cardano און Raphaël באָמבעללי אין די 16 יאָרהונדערט. א מאָדערן קוק, די הויפּט מעטאָד פון סאַלווינג קוואַדראַטיק יקווייזשאַנז (דורך דיסקרימינאַנט) איז געגרינדעט בלויז אין די 17 יאָרהונדערט דורך די מעשים פון דעסקאַרטעס און נוטאַן.

אין די מיטל פון די 18 יאָרהונדערט שווייצער מאטעמאטיקער גאַבריעל קראַמער געפֿונען אַ נייַ וועג צו מאַכן די לייזונג פון סיסטעמען פון לינעאַר יקווייזשאַנז גרינגער. דעם אופֿן איז שפּעטער געהייסן נאָך אים, און צו דעם טאָג מיר ניצן עס. אָבער אויף דעם אופֿן פון קראַמער ס רעדן אַ ביסל שפּעטער, אָבער פֿאַר איצט מיר וועלן דיסקוטירן לינעאַר יקווייזשאַנז און זייער סאַלושאַנז סעפּעראַטלי פון די סיסטעם.

לינעאַר יקווייזשאַנז

לינעאַר יקווייזשאַנז - די סימפּלאַסט יקווייזשאַן מיט בייַטעוודיק (ד). זיי געהערן צו די אַלדזשאַבריייק. לינעאַר יקווייזשאַנז געשריבן אין דער גענעראַל פאָרעם ווי גייט: אַ ₁ * רענטגענ ₁ + אַ _{2 *} רענטגענ ₂ + ... און _n * רענטגענ _N = ב. סאַבמישאַן פון דעם פאָרעם מיר וועלן דאַרפֿן אין דער צוגרייטונג פון סיסטעמען און מייטריסיז אויף.

א סיסטעם פון לינעאַר אַלדזשאַבריייק יקווייזשאַנז

די דעפֿיניציע פון דעם טערמין איז: אַ סכום פון יקווייזשאַנז וואס האָבן פּראָסט אַנאָונז און די גענעראַל לייזונג. טיפּיקאַללי, אין שולע אַלע סאַלווד אַ סיסטעם מיט צוויי אָדער אַפֿילו דרייַ יקווייזשאַנז. אבער עס זענען סיסטעמס מיט פיר אָדער מער קאַמפּאָונאַנץ. זאל ס זען ערשטער ווי צו שרייַבן זיי אַראָפּ אַזוי אַז שפּעטער עס איז געווען באַקוועם צו סאָלווע. ערשטער, די סיסטעם פון לינעאַר אַלדזשאַבריייק יקווייזשאַנז וועט קוקן בעסער אויב אַלע די וועריאַבאַלז זענען געשריבן ווי רענטגענ מיט די קאָראַספּאַנדינג אינדעקס: 1,2,3 און אַזוי אויף. צווייטנס, עס זאָל פירן אַלע די יקווייזשאַנז צו די קאַנאַנאַקאַל פאָרעם: אַ ₁ * רענטגענ ₁ + אַ _{2 *} רענטגענ ₂ + ... און _n * רענטגענ _N = ב.

נאָך אַלע די טריט, מיר קענען אָנהייבן צו זאָגן איר ווי צו געפֿינען די לייזונג פון סיסטעמען פון לינעאַר יקווייזשאַנז. זייער פיל פֿאַר וואָס וועט קומען אין האַנטיק מאַטריץ.

מאַטריץ

מאַטריץ - אַ טיש וואָס באשטייט פון ראָוז און קאָלומנס, און זייַן עלעמענטן זענען אין זייער ינטערסעקשאַן. דעם קענען זיין אָדער אַ ספּעציפיש ווערט אָדער בייַטעוודיק. אין רובֿ קאַסעס, צו דעזיגנייט עלעמענטן וואָס זענען עריינדזשד ונטער דער סובסקריפּץ (למשל, אַ ₁₁ אָדער ₂₃ געזונט). דער ערשטער אינדעקס ינדיקייץ די רודערן נומער, און די צווייט - די קאָלאָנע. אויבן מייטריסיז ווי אויבן און קיין אנדערע מאַטאַמאַטיקאַל עלעמענט קענען דורכפירן פאַרשידן אַפּעריישאַנז. אזוי, איר קענען:

1) אַראָפּרעכענען און לייגן די זעלבע גרייס פון די טיש.

2) מערן די מאַטריץ צו קיין נומער אָדער וועקטאָר.

3) טראַנספּאָסע: יבערמאַכן מאַטריץ שורות אין דער קאָלומנס, און די Columns - אין שורה.

4) מערן די מאַטריץ, אויב די נומער פון ראָוז איז גלייַך צו איינער פון זיי אַ אַנדערש נומער פון קאָלומנס.

צו דיסקוטירן אין דעטאַל אַלע פון די טעקניקס, ווי זיי זענען נוצלעך צו אונדז אין דער צוקונפֿט. כיסער און דערצו פון מייטריסיז איז זייער פּשוט. זינט מיר נעמען די זעלבע גרייס מאַטריץ, יעדער עלעמענט פון איין טיש איז שייך צו יעדער אנדערער עלעמענט. אזוי מיר לייגן (אַראָפּרעכענען) צוויי פון די עלעמענטן (עס איז וויכטיק אַז זיי זענען געווען שטייענדיק אויף דער זעלביקער ערד אין זייער מייטריסיז). ווען געמערט דורך די נומער פון מאַטריץ אָדער וועקטאָר איר נאָר מערן יעדער עלעמענט פון די מאַטריץ דורך אַז נומער (אָדער וועקטאָר). טראַנספּאָסיטיאָן - אַ זייער טשיקאַווע פּראָצעס. זייער טשיקאַווע מאל צו זען אים אין פאַקטיש לעבן, למשל, ווען טשאַנגינג די אָריענטירונג פון אַ טאַבלעט אָדער טעלעפאָנירן. די נוליקע אויף די דעסקטאַפּ איז אַ מאַטריץ, און מיט אַ טוישן פון שטעלע, עס איז טראַנספּאָסעד און ווערט ווידער, אָבער דיקריסאַז אין הייך.

זאל אונדז ונטערזוכן מער אַ פּראָצעס אַזאַ ווי מאַטריץ קייפל. כאָטש ער דערציילט אונדז, און איז נישט נוצלעך, אָבער זיין אַווער עס איז נאָך נוצלעך. מערן צוויי מייטריסיז קענען זיין נאָר אונטער די צושטאַנד אַז די נומער פון Columns אין איין טיש איז גלייַך צו די נומער פון ראָוז אנדערע. איצט נעמען איין מאַטריץ שורה עלעמענטן און אנדערע עלעמענטן פון די קאָראַספּאַנדינג זייַל. מערן זיי צו יעדער אנדערער און דעמאָלט סאַכאַקל (י.ע., למשל, אַ פּראָדוקט פון יסודות ₁₁ און ₁₂ און ביי ₁₂ ב און ₂₂ ב וועט זיין גלייַך צו: אַ * ב _{11 12,} + ₁₂ * ב און _22). אזוי, אַ איין טיש נומער, און אַ אופֿן ענלעך צו עס איז אָנגעפילט ווייַטער.

איצט מיר קענען אָנהייבן צו באַטראַכטן ווי צו סאָלווע סיסטעמס פון לינעאַר יקווייזשאַנז.

גאַוסס

דעם טעמע אנגעהויבן צו נעמען אָרט אין שולע. מיר וויסן זייער גוט דער באַגריף פון "סיסטעם פון צוויי לינעאַר יקווייזשאַנז" און וויסן ווי צו סאָלווע זיי. אבער וואָס אויב די נומער פון יקווייזשאַנז איז גרעסער ווי צוויי? דאס וועט העלפן אונדז גאַוסס אופֿן.

פון קורס, דעם אופֿן איז באַקוועם צו נוצן, אויב איר מאַכן אַ מאַטריץ פון די סיסטעם. אבער איר קענען ניט בייַטן עס און באַשליסן אויף זייַן אייגן.

אַזוי, ווי צו סאָלווע עס דורך אַ סיסטעם פון לינעאַר יקווייזשאַנז גאַוסס? דורך דעם וועג, אַפֿילו כאָטש דעם אופֿן און געהייסן נאָך אים, אָבער דיסקאַווערד עס אין די אור אַלטע צייטן. גאַוסס האט אַן אָפּעראַציע געטראגן אויס מיט די יקווייזשאַנז, צו יווענטשאַוואַלי רעזולטאַט אין די טאָוטאַלאַטי צו עטשעלאָן פאָרעם. וואָס איז, איר דאַרפֿן צו שפּיץ-אַראָפּ (אויב ריכטיק אָרט) פון דער ערשטער צו די לעצטע יקווייזשאַן וואַנעד איינער אומבאַקאַנט. אין אנדערע ווערטער, מיר דאַרפֿן צו מאַכן זיכער אַז מיר 'ווע גאַט, זאָגן, דרייַ יקווייזשאַנז: דער ערשטער - דרייַ אַנאָונז, אין די רגע - צוויי אין די דריט - איינער. דערנאך, פון די לעצטע יקווייזשאַן, מיר געפינען די ערשטער אומבאַקאַנט, פאַרטרעטער זייַן ווערט אין דער רגע אָדער דער ערשטער יקווייזשאַן, און ווייַטער געפינען די רוען צוויי וועריאַבאַלז.

קראַמער ס הערשן

פֿאַר דער אַנטוויקלונג פון דעם טעכניק איז וויטאַל צו בעל דער סקילז פון דערצו, כיסער פון מייטריסיז, ווי געזונט ווי די דאַרפֿן צו קענען צו געפינען דיטערמאַנאַנץ. דעריבער, אויב איר זענט ומבאַקוועם טאן דעם אַלע אָדער טאָן ניט וויסן ווי, עס איז נייטיק צו לערנען און זייַן טריינד.

וואָס איז די עסאַנס פון דעם אופֿן, און ווי צו טאָן אַזוי, צו באַקומען אַ סיסטעם פון לינעאַר יקווייזשאַנז קראַמער? עס ס זייער פּשוט. מיר דאַרפֿן צו בויען אַ מאַטריץ פון נומערן (כּמעט שטענדיק) די קאָעפפיסיענץ פון אַ סיסטעם פון לינעאַר אַלדזשאַבריייק יקווייזשאַנז. צו טאָן דאָס, נאָר נעמען די נומער פון די אומבאַקאַנט, און מיר צולייגן אַ טיש אין די סדר אַז זיי זענען רעקאָרדעד אין די סיסטעם. אויב איידער די נומער איז אַ צייכן "-", דעמאָלט מיר שרייַבן נעגאַטיוו קאָעפפיסיענט. אַזוי, מיר געמאכט דער ערשטער מאַטריץ פון די קאָעפפיסיענץ פון די אַנאָונז, ניט כולל די נומער נאָך די גלייַך צייכן (פון קורס, אַז די יקווייזשאַן האט צו זיין רידוסט צו די קאַנאַנאַקאַל פאָרעם ווען די רעכט איז נאָר אַ נומער, און די לינקס - אַלע די אַנאָונז מיט קאָעפפיסיענץ). דעמאָלט איר דאַרפֿן צו מאַכן אַ ביסל מייטריסיז - איינער פֿאַר יעדער בייַטעוודיק. פֿאַר דעם צוועק, אין דער ערשטער מאַטריץ איז ריפּלייסט דורך איין זייַל יעדער קאָלאָנע נומערן מיט די קאָעפפיסיענץ נאָך די גלייַך צייכן. אזוי מיר באַקומען אַ ביסל מייטריסיז און דעריבער געפֿינען זייער דיטערמאַנאַנץ.

נאָך מיר געפֿונען די קוואַליפיערס, עס ס קליין. מיר האָבן אַן ערשט מאַטריץ, און עס זענען עטלעכע דערייווד מייטריסיז, וואָס שטימען צו פאַרשידענע וועריאַבאַלז. צו באַקומען אַ סיסטעם לייזונג, מיר טיילן די דיטערמאַנאַנט פון די ריזאַלטינג טיש אויף די ערשטיק דיטערמאַנאַנט פון די טיש. די ריזאַלטינג נומער איז די ווערט פון איין בייַטעוודיק. סימילאַרלי, מיר געפֿינען אַלע די אַנאָונז.

אנדערע מעטהאָדס

עס זענען עטלעכע מעטהאָדס אין סדר צו קריגן די לייזונג פון סיסטעמען פון לינעאַר יקווייזשאַנז. למשל, אַ אַזוי-גערופֿן גאַוסס-יארדאניע אופֿן, וואָס איז געניצט פֿאַר דערגייונג סאַלושאַנז פון די סיסטעם פון קוואַדראַטיק יקווייזשאַנז, און אויך דערציילט צו די נוצן פון מייטריסיז. עס איז אויך אַ דזשאַקאָבי אופֿן פֿאַר סאַלווינג אַ סיסטעם פון לינעאַר אַלדזשאַבריייק יקווייזשאַנז. ער לייכט אַדאַפּץ צו אַלע קאָמפּיוטערס און איז געניצט אין קאַמפּיוטינג.

קאָמפּליצירט קאַסעס

קאַמפּלעקסיטי יוזשאַוואַלי אַקערז אויב די נומער פון יקווייזשאַנז איז ווייניקער ווי די נומער פון וועריאַבאַלז. דעמאָלט מיר קענען אַוואַדע זאָגן אַז, אָדער די סיסטעם איז סתירה (ד"ה, האט קיין רוץ), אָדער די נומער פון זייַן דיסיזשאַנז טענדז צו ומענדיקייַט. אויב מיר האָבן די רגע פאַל - עס איז נייטיק צו שרייַבן דער גענעראַל לייזונג פון די סיסטעם פון לינעאַר יקווייזשאַנז. עס וועט אַרייַננעמען לפּחות איין בייַטעוודיק.

סאָף

דאָ מיר קומען צו די סוף. צו סאַמערייז: מיר האָבן צו פֿאַרשטיין וואָס די סיסטעם מאַטריץ, געלערנט צו געפינען די גענעראַל לייזונג פון אַ סיסטעם פון לינעאַר יקווייזשאַנז. אין דערצו מיר געהאלטן אנדערע אָפּציעס. מיר פיגורעד אויס ווי צו סאָלווע סיסטעמס פון לינעאַר יקווייזשאַנז: גאַוססיאַן ילימאַניישאַן און קראַמער ס הערשן. מיר גערעדט וועגן שווער קאַסעס און אנדערע וועגן פון דערגייונג סאַלושאַנז.

אין פאַקט, דעם אַרויסגעבן איז פיל מער ברייט, און אויב איר ווילן צו בעסער פֿאַרשטיין עס, מיר רעקאָמענדירן איר צו לייענען מער פון די ספּעשאַלייזד ליטעראַטור.