דזשיאַמעטריק פּראַגרעשאַן. לעמאָשל צו באַשלוס

באַטראַכטן אַ רודערן.

7 28 112 448 1792 ...

גאנץ קלאר ווייזט אַז די ווערט פון קיין פון זייַן יסודות מער ווי די פֿריִערדיקע פּונקט פיר מאל. אַזוי, דעם סעריע איז אַ פּראַגרעשאַן.

דזשיאַמעטריקאַל פּראַגרעשאַן גערופֿן Infinite סיקוואַנס פון נומערן, דער הויפּט שטריך פון וואָס איז אַז די ווייַטערדיק נומער איז באקומען פון די אויבן דורך מאַלטאַפּלייינג דורך עטלעכע באַשטימט נומער. דאס איז אויסגעדריקט דורך די ווייַטערדיק פאָרמולע.

_{אַ ז +1 = אַ ז · ק} , ווו ז - נומער פון די אויסגעקליבן עלעמענט.

אַקקאָרדינגלי, ז ∈ ען

א צייַט ווען די שול איז געלערנט דזשיאַמעטריק פּראַגרעשאַן - 9 מיינונג. עקסאַמפּלעס וועט העלפן פֿאַרשטיין דעם באַגריף:

0.25 0.125 0.0625 ...

18 פעברואַר 6 ...

באַזירט אויף דעם פאָרמולע, די פּראַגרעשאַן פון די דענאָמינאַטאָר זאל זיין געפֿונען ווי גייט:

ניט דער ק, אָדער ב _ז קענען ניט זיין נול. אויך, יעדער פון די יסודות פון אַ סעריע פון נומערן פּראַגרעשאַן זאָל ניט זיין נול.

אַקקאָרדינגלי, צו זען די ווייַטער נומער פון אַ נומער, מערן די יענער דורך ק.

צו דעפינירן דעם פּראַגרעשאַן, איר מוזן ספּעציפיצירן דער ערשטער עלעמענט פון עס און די דענאָמינאַטאָר. נאָך וואָס עס איז מעגלעך צו געפֿינען קיין פון די ווייַטערדיק מיטגלידער און זייער סומע.

זגאַל

דעפּענדינג אויף די ק און אַ _1, דעם פּראַגרעשאַן איז צעטיילט אין עטלעכע טייפּס:

• אויב אַ _1, און ק איז גרעסער ווי איינער, דעמאָלט אַ סיקוואַנס - ינקריסינג מיט יעדער סאַקסעסיוו עלעמענט פון אַ דזשיאַמעטריק פּראַגרעשאַן. עקסאַמפּלעס דערפון זענען דיטיילד אונטן.

למשל: אַ ₁ = 3, ק = 2 - גרעסער ווי אחדות, ביידע פּאַראַמעטערס.

דעמאָלט אַ סיקוואַנס פון נומערן קענען זיין געשריבן ווי:

3 6 12 24 48 ...

• אויב | ק | ווייניקער ווי איין, דאס הייסט, עס איז עקוויוואַלענט צו קייפל דורך אָפּטייל, די פּראַגרעשאַן מיט ענלעך באדינגונגען - דיקריסינג דזשיאַמעטריק פּראַגרעשאַן. עקסאַמפּלעס דערפון זענען דיטיילד אונטן.

למשל: אַ ₁ = 6, ק = 1/3 - אַ ₁ איז גרעסער ווי איינער, ק - ווייניקער.

דעמאָלט אַ סיקוואַנס פון נומערן קענען זיין געשריבן ווי גייט:

יוני 2 2/3 ... - קיין עלעמענט מער יסודות ווייַטערדיק עס, איז 3 מאל.

• אָלטערנייטינג. אויב ק <0, די וואונדער פון די נומערן פון די סיקוואַנס אָלטערנייטינג קעסיידער ראַגאַרדלאַס פון אַ _1, און די יסודות פון קיין פאַרגרעסערן אָדער פאַרקלענערן.

למשל: אַ ₁ = -3, ק = -2 - זענען ביידע ווייניקער ווי נול.

דעמאָלט אַ סיקוואַנס פון נומערן קענען זיין געשריבן ווי:

3, 6, -12, 24, ...

פאָרמולע

פֿאַר באַקוועם נוצן, עס זענען פילע דזשיאַמעטריק פּראָגרעססיאָנס פון די פאָרמולאַס:

• פאָרמולע מיט-טיייטש טערמין. עס אַלאַוז די חשבון פון די עלעמענט אין אַ ספּעציפיש נומער אָן קאַלקיאַלייטינג די פרייַערדיק נומערן.

למשל: ק = 3, אַ = ₁ 4. required צו רעכענען 1/4 עלעמענט פּראַגרעשאַן.

לייזונג: אַ = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• די סאַכאַקל פון דער ערשטער עלעמענטן, וועמענס נומער איז גלייַך צו מיט. עס אַלאַוז די חשבון פון די סאַכאַקל פון אַלע יסודות אין אַ סיקוואַנס צו אַ _ז ינקלוסיוו.

≠ 0, אַזוי, ק איז ניט 1 - (ק 1) זינט (1- ק) איז אין די דענאָמינאַטאָר, דעמאָלט.

באַמערקונג: אויב ק = 1, דעמאָלט דער פּראַגרעשאַן וואָלט האָבן רעפּריזענטיד אַ נומער פון ענדלאַסלי ריפּיטינג דעם נומער.

סומע עקספּאָונענשאַלי יגזאַמפּאַלז: אַ ₁ = 2, ק = -2. רעכענען ד _5.

לייזונג: ד ₅ = 22 - כעזשבן פאָרמולע.

• סומע אויב | ק | <1 און ווען ז טענדז צו ומענדיקייַט.

למשל: אַ ₁ = _2, ק = 0.5. געפינען די סאַכאַקל.

לייזונג: ד _ז = 2 רענטגענ = 4

אויב מיר רעכענען די סאַכאַקל פון עטלעכע מיטגלידער פון די מאַנואַל, איר וועט זען אַז עס איז טאַקע באגאנגען צו פיר.

ד _ז = 2 + 1, + 0.5 + 0.25 + 0125 + 0.0625 = 3.9375 4

עטלעכע פּראָפּערטיעס:

• א קוואַליטעט פאַרמאָג. אויב די ווייַטערדיק צושטאַנד עס האלט פֿאַר קיין ז, דעמאָלט געגעבן אַ נומעריקאַל סעריע - אַ דזשיאַמעטריק פּראַגרעשאַן:

אַ _ז ² = א _{ז -1} · א _{ז 1}

• עס איז אויך די קוואַדראַט פון קיין נומער איז עקספּאָונענשאַלי דורך מיטל פון דערצו פון די סקווערז פון די אנדערע צוויי נומערן אין קיין געגעבן רודערן, אויב זיי זענען עקווידיסטאַנט פון די עלעמענט.

² אַ _מיט = אַ _{ז - ה} ² ₊ אַ _ז, + _ה ² ווו ה - די דיסטאַנסע צווישן די נומערן.

• די יסודות אַנדערש זייַן דורך ק מאל.
• די לאָגאַריטהמס פון די יסודות פון פּראַגרעשאַן ווי געזונט פאָרעם אַ פּראַגרעשאַן, אָבער די אַריטמעטיק, אַז איז, יעדער פון זיי מער ווי די פֿריִערדיקע איינער דורך אַ זיכער נומער.

עקסאַמפּלעס פון עטלעכע קלאסישע פּראָבלעמס

צו בעסער פֿאַרשטיין וואָס אַ דזשיאַמעטריק פּראַגרעשאַן, מיט דעם באַשלוס יגזאַמפּאַלז פֿאַר מיינונג 9 קענען העלפן.

• תּנאָים און באדינגונגען: אַ ₁ = 3, אַ ₃ = 48. געפֿינען ק.

לייזונג: יעדער סאַקסעסיוו עלעמענט אין מער ווי די פֿריִערדיקע ק צייַט. עס איז נייטיק צו אויסדריקן עטלעכע יסודות דורך אנדערע דורך דענאָמינאַטאָר.

דעריבער, אַ ₃ = ק ² · אַ ₁

ווען סאַבסטיטוטינג ק = 4

• טנאָים: אַ ₂ = 6, אַ = ₃ 12. רעכענען ד _6.

לייזונג: צו טאָן דאָס, עס איז גענוג צו געפינען ק, דער ערשטער עלעמענט און פאַרטרעטער אין די פאָרמולע.

אַ ₃ = ק · אַ _2, דעריבער, ק = 2

אַ ₂ = ק · א _1, אַזוי אַ = ₁ 3

ד = ₆ 189

• · א ₁ = 10, ק = -2. געפֿינען די פערט עלעמענט פון פּראַגרעשאַן.

לייזונג: עס איז גענוג צו אויסדריקן די פערט עלעמענט דורך דער ערשטער און דורך די דענאָמינאַטאָר.

₄ אַ ³ = ק · אַ = ₁ -80

אַפּפּליקאַטיאָן משל:

• באַנק קליענט האט קאַנטריביוטיד די סאַכאַקל פון 10,000 רובל, אונטער וואָס יעדער יאָר די קליענט צו די הויפּט סומע וועט זיין מוסיף 6% פון עס כאָטש. ווי פיל געלט איז אין די חשבון נאָך 4 יאר?

לייזונג: די ערשט סומע גלייַך צו 10 טויזנט רובל. אַזוי, אַ יאָר נאָך די ינוועסטמאַנץ אין די חשבון וועט זיין די סומע גלייַך צו 10000, + 10000 = 10000 · 0.06 · 1.06

אַקקאָרדינגלי, די סומע אין דער חשבון אַפֿילו נאָך איין יאָר וועט זיין אויסגעדריקט ווי גייט:

(10000 · 1.06) · 10000 · 0.06 + 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

אַז איז, יעדער יאָר די סומע געוואקסן צו 1.06 מאל. בכן, צו געפֿינען די נומער פון די חשבון נאָך 4 יאר, עס איז גענוג צו געפינען 1/4 עלעמענט פּראַגרעשאַן, וואָס איז געגעבן ערשטער עלעמענט גלייַך צו 10 טויזנט, און די דענאָמינאַטאָר גלייַך צו 1.06.

ד = 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10000 = 12,625

עקסאַמפּלעס פון פּראָבלעמס אין די קאַמפּיאַטיישאַן פון די סאַכאַקל פון:

אין פאַרשידן פּראָבלעמס ניצן דזשיאַמעטריק פּראַגרעשאַן. אַ משל פון דערגייונג די סאַכאַקל זאל זיין באַשטימט ווי גייט:

אַ ₁ = 4, ק = 2, רעכענען ד _5.

לייזונג: אַלע די נייטיק דאַטן פֿאַר די חשבון זענען באקאנט, נאָר פאַרבייַטן זיי אין די פאָרמולע.

ד ₅ = 124

• אַ ₂ = 6, אַ = ₃ 18. רעכענען די סאַכאַקל פון דער ערשטער זעקס עלעמענטן.

לייזונג:

די געאָם. די פּראָגרעס פון יעדער עלעמענט פון דער ווייַטער גרעסערע ווי די פֿריִערדיקע ק מאל, וואָס איז, צו רעכענען די סומע איר דאַרפֿן צו וויסן די עלעמענט אַ ₁ און די דענאָמינאַטאָר ק.

אַ ₂ · ק = אַ ₃

ק = 3

סימילאַרלי, די דאַרפֿן צו געפֿינען אַ _1, אַ ₂ און ווייסט ק.

אַ ₁ · ק = אַ ₂

אַ ₁ = 2

און דעמאָלט עס איז גענוג צו פאַרטרעטער די באקאנט דאַטן אין די פאָרמולע סומע.

ד ₆ = 728.