פאָרמירונג, קאַלידזשיז און אוניווערסיטעטן
דיפפערענטיאַלס - וואָס איז דאָס? ווי צו געפֿינען די דיפפערענטיאַל פון די פֿונקציע?
צוזאמען מיט דעריוואַטיווז זייער פֿעיִקייטן דיפפערענטיאַלס - עס עטלעכע פון די יקערדיק קאַנסעפּס פון די דיפפערענטיאַל קאַלקולוס, די הויפּט אָפּטיילונג פון מאַטאַמאַטיקאַל אַנאַליסיס. ווי ינעקסטריקאַבלי לינגקט, ביידע פון זיי עטלעכע סענטשעריז וויידלי געניצט אין סאַלווינג כּמעט אַלע פּראָבלעמס אַז איז אויפֿגעשטאַנען אין די לויף פון SCIENTIFIC און טעכניש טעטיקייט.
די ימערדזשאַנס פון דער באַגריף פון דיפפערענטיאַל
פֿאַר די ערשטער מאָל געמאכט עס קלאָר אַז אַזאַ אַ דיפפערענטיאַל, איינער פון די גרינדערס (צוזאמען מיט יסאַאַקאָם ניוטאָנאָם) דיפפערענטיאַל קאַלקולוס באַרימט דייַטש מאַטעמאַטיקער גאָטפריד ווילגעלם לייבניץ. איידער אַז מאַטאַמאַטישאַנז 17 יאָרהונדערט. געניצט זייער ומקלאָר און ווייג געדאַנק פון עטלעכע ינפיניטעסימאַל "אַנדאַוויידיד" פון קיין באקאנט פֿונקציע, רעפּריזענטינג אַ זייער קליין קעסיידערדיק ווערט אָבער ניט גלייַך צו נול, ונטער וואָס וואַלועס די פֿונקציע קענען ניט זיין נאָר. בכן עס איז געווען בלויז איין שריט צו דער הקדמה פון השגות פון ינפיניטעסימאַל ינגקראַמאַנץ פון פֿונקציע טענות און זייער ריספּעקטיוו ינגקראַמאַנץ פון די פֿעיִקייטן אַז קענען זיין אויסגעדריקט אין טערמינען פון דעריוואַטיווז פון די יענער. און דעם שריט איז גענומען כּמעט סיימאַלטייניאַסלי די אויבן צוויי גרויס סייאַנטיס.
באזירט אויף דעם דאַרפֿן צו אַדרעס דרינגלעך פּראַקטיש מאַקאַניקס פּראָבלעמס אַז קאָנפראָנט וויסנשאַפֿט ראַפּאַדלי דעוועלאָפּינג אינדוסטריע און טעכנאָלאָגיע, נוטאַן און לעיבניז Created דער פּראָסט וועגן פון דערגייונג די פֿעיִקייטן פון די קורס פון טוישן (ספּעציעל מיט אַכטונג צו די מעטשאַניקאַל גיכקייַט פון דעם גוף פון די באקאנט טרייַעקטאָריע), וואָס האבן צו דער הקדמה פון אַזאַ קאַנסעפּס, ווי די דעריוואַט פֿונקציע און די דיפפערענטיאַל, און אויך געפֿונען די אַלגערידאַם פאַרקערט פּראָבלעם סאַלושאַנז ווי באקאנט פּער סיי (בייַטעוודיק) ספּידז טראַווערסט צו געפינען דעם דרך וואָס האט געפֿירט צו דער באַגריף פון ינטאַגראַל אַלאַ.
אין די מעשים פון לעיבניז און נוטאַן 'ס געדאַנק ערשטער עס ארויס אַז די דיפפערענטיאַלס - איז פּראַפּאָרשאַנאַל צו די ינקראַמאַנט פון די גרונט טענות δה ינגקראַמאַנץ δו פֿעיִקייטן וואס קענען זיין הצלחה געווענדט צו רעכענען די ווערט פון די יענער. אין אנדערע ווערטער, זיי האָבן דיסקאַווערד אַז אַ ינקראַמאַנט פונקציאָנירן זאל זיין ביי קיין פונט (ין זייַן פעלד פון דעפֿיניציע) איז אויסגעדריקט דורך זייַן דעריוואַט ביידע δו = י '(רענטגענ) δה, + αδה ווו α δה - רעשט, טענדינג צו נול ווי δה → 0, פיל Faster ווי די פאַקטיש δה.
לויט צו די גרינדערס פון מאַטאַמאַטיקאַל אַנאַליז, די דיפפערענטיאַלס - דאָס איז פּונקט דער ערשטער טערמין אין ינגקראַמאַנץ פון קיין פֿעיִקייטן. אַפֿילו אָן ווייל אַ קלאר Defined שיעור באַגריף סיקוואַנסיז זענען פֿאַרשטאַנען ינטויטיוולי אַז די דיפפערענטיאַל ווערט פון די דעריוואַט טענדז צו פונקציאָנירן ווען δה → 0 - δו / δה → י '(רענטגענ).
ניט ענלעך נוטאַן, וואס איז געווען בפֿרט אַ פיסיסיסט און מאַטאַמאַטיקאַל אַפּאַראַט באטראכט ווי אַ אַגזיליערי געצייַג פֿאַר דעם לערנען פון גשמיות פּראָבלעמס, לעיבניז באַצאָלט מער אכטונג צו דעם טאָאָלקיט, כולל אַ סיסטעם פון וויזשאַוואַל און קאַמפּריכענסאַבאַל סימבאָלס מאַטאַמאַטיקאַל וואַלועס. עס איז געווען ער וואס פּראָפּאָסעד די סטאַנדאַרט נאָוטיישאַן פון דיפפערענטיאַלס פֿונקציע די = י '(רענטגענ) דקס, דקס, און די דעריוואַט פון דער אַרגומענט פֿונקציע ווי זייער שייכות י' (X) = די / דקס.
די מאָדערן דעפֿיניציע
וואָס איז די דיפפערענטיאַל אין טערמינען פון מאָדערן מאטעמאטיק? עס איז ענג שייך צו דער באַגריף פון אַ בייַטעוודיק ינקראַמאַנט. אויב די בייַטעוודיק י נעמט אַ ערשטער ווערט פון י י = 1, דעמאָלט י = י 2, די חילוק י 2 ─ י 1 איז געהייסן די ינקראַמאַנט ווערט י.
אויב די ווערט δו אַרבאַטרערי פֿונקציע י = פֿ '(X) זאל זיין רעפּריזענטיד ווי δו = א δה, + α, ווו א איז קיין אָפענגיקייַט אויף δה, ה. י א = קאָנסט פֿאַר דער געגעבן רענטגענ, און די טערמין α ווען δה → 0 טענדז צו עס איז אַפֿילו Faster ווי די פאַקטיש δה, דעמאָלט דער ערשטער ( "בעל") $ אַ טערמין פּראַפּאָרשאַנאַל δה, און איז פֿאַר י = פֿ '(X) דיפפערענטיאַל, דינאָוטאַד די אָדער דף (X) (לייענען "י דע", "דע עפף פֿון רענטגענ"). דעריבער דיפפערענטיאַלס - אַ "הויפּט" לינעאַר מיט רעספּעקט צו די קאַמפּאָונאַנץ פון ינגקראַמאַנץ δה פֿעיִקייטן.
מעטשאַניקאַל דערקלערונג
זאל ס = פֿ '(ה) - די דיסטאַנסע אין אַ גלייַך שורה מאָווינג מאַטעריאַל פונט פון די ערשט שטעלע (ה - אַרומפאָרן צייַט). ינקראַמאַנט δס - איז די וועג פונט בעשאַס אַ צייַט מעהאַלעך δט, און די דיפפערענטיאַל דס = ו '(ה) δט - דעם דרך, וואָס פונט וואָלט זיין געהאלטן פֿאַר דער זעלביקער צייַט δט, אויב עס ריטיינד די גיכקייַט ו' (ה), ריטשט בייַ צייַט ה . ווען אַ ינפיניטעסימאַל δט דס ויסגעטראַכט דרך דיפפערס פֿון די פאַקטיש δס ינפיניטעסימאַללי בעת אַ העכער סדר מיט רעספּעקט צו δט. אויב די גיכקייַט בייַ די צייַט ה איז ניט גלייַך צו נול, די דערנענטערנ ווערט דס גיט קליין פאָרורטייל פונט.
דזשיאַמעטריק ינטערפּריטיישאַן
זאל דער שורה ל איז די גראַפיק פון י = ו (X). דעמאָלט Δ רענטגענ = MQ, δו = קם '(זען. Figure ונטער). טאַנדזשאַנט מן ברייקס δו שנייַדן אין צוויי טיילן, קן און נם '. ערשטער און δה איז פּראַפּאָרשאַנאַל קן = MQ ∙ טג (ווינקל קמן) = δה ו '(רענטגענ), ה. E קן איז די דיפפערענטיאַל.
די רגע טייל פון די חילוק δו נמ'דאַעט ─ די, ווען δה → 0 נם לענג 'דיקריסאַז אַפֿילו Faster ווי די ינקראַמאַנט פון דער אַרגומענט, דאס הייסט עס האט די סדר פון סמאַללנעסס העכער ווי δה. אין דעם פאַל, אויב ו '(רענטגענ) ≠ 0 (ניט-פּאַראַלעל טאַנדזשאַנט OX) סעגמאַנץ קמ'י קן עקוויוואַלענט; אין אנדערע ווערטער נם 'דיקריסאַז ראַפּאַדלי (סדר פון סמאַללנעסס פון זייַן העכער) ווי די גאַנץ ינקראַמאַנט δו = קם'. דעם איז קענטיק אין געשטאַלט (אַפּראָוטשינג אָפּשניט מ'ק ב נמ'סאָסטאַווליאַעט אַלע קלענערער פּראָצענט קם 'אָפּשניט).
אַזוי, גראַפיקאַללי דיפפערענטיאַל אַרבאַטרערי פֿונקציע איז גלייַך צו די ינקראַמאַנט פון די אָרדינאַטע פון די טאַנדזשאַנט.
דעריוואַט און דיפפערענטיאַל
א פאַקטאָר אין דער ערשטער טערמין פון אויסדרוק ינקראַמאַנט פֿונקציע איז גלייַך צו די ווערט פון זייַן דעריוואַט ו '(רענטגענ). אזוי, דער ווייַטערדיק באַציונג - די = ו '(רענטגענ) δה אָדער דף (X) = ו' (רענטגענ) δה.
עס איז באקאנט אַז די ינקראַמאַנט פון די זעלבשטענדיק אַרגומענט איז גלייַך צו זייַן דיפפערענטיאַל δה = דקס. אַקקאָרדינגלי, מיר קענען שרייַבן: F '(רענטגענ) דקס = די.
דערגייונג (מאל האט געזאגט צו זיין דער "באַשלוס") דיפפערענטיאַלס איז געטאן דורך די זעלבע כּללים ווי פֿאַר די דעריוואַטיווז. א רשימה פון זיי איז געגעבן אונטן.
וואָס איז מער וניווערסאַל: די ינקראַמאַנט פון דער אַרגומענט אָדער זייַן דיפפערענטיאַל
דאָ עס איז נייטיק צו מאַכן עטלעכע קלאַריפיקאַטיאָנס. פאַרטרעטונג ווערט ו '(רענטגענ) דיפפערענטיאַל δה מעגלעך ווען קאַנסידערינג רענטגענ ווי אַן אַרגומענט. אָבער די פֿונקציע קענען זיין אַ קאָמפּלעקס, אין וואָס רענטגענ קענען זיין אַ פֿונקציע פון דער אַרגומענט ה. דעמאָלט דער פאַרטרעטונג פון די דיפפערענטיאַל אויסדרוק פון ו '(רענטגענ) δה, ווי אַ הערשן, עס איז אוממעגלעך; חוץ אין די פאַל פון לינעאַר אָפענגיקייַט רענטגענ = ביי + B.
ווי צו די פאָרמולע ו '(רענטגענ) דקס = די, דעמאָלט אין די פאַל פון זעלבשטענדיק אַרגומענט רענטגענ (דעמאָלט דקס = δה) אין די פאַל פון די פּעראַמעטריק אָפענגיקייַט פון רענטגענ ג, עס איז דיפפערענטיאַל.
למשל, דער אויסדרוק 2 רענטגענ δה איז פֿאַר י = רענטגענ 2 זייַן דיפפערענטיאַל ווען רענטגענ איז אַן אַרגומענט. מיר איצט רענטגענ = ה 2 און יבערנעמען ה אַרגומענט. דעמאָלט י = X 2 = ה 4.
דעם איז נאכגעגאנגען דורך (ה + δט) 2 = ה 2 + 2טδט, + δט 2. בכן δה = 2טδט, + δט 2. בכן: 2קסδה = 2T 2 (2טδט, + δט 2).
דעם אויסדרוק איז ניט פּראַפּאָרשאַנאַל צו δט, און דעריבער איז איצט 2קסδה איז ניט דיפפערענטיאַל. עס קענען זיין געפֿונען פֿון די יקווייזשאַן י = X 2 = ה 4. עס איז גלייַך די = 4T 3 δט.
אויב מיר נעמען די אויסדרוק 2קסדקס, עס איז די דיפפערענטיאַל י = רענטגענ 2 פֿאַר קיין אַרגומענט ה. טאקע, ווען רענטגענ = ה 2 קריגן דקס = 2טδט.
אַזוי 2קסדקס = 2T 2 2טδט = 4T 3 .דעלטאַ.ט, ה. י די אויסדרוק דיפפערענטיאַלס רעקאָרדעד דורך צוויי פאַרשידענע וועריאַבאַלז צונויפפאַלן.
ריפּלייסינג ינגקראַמאַנץ דיפפערענטיאַלס
אויב ו '(רענטגענ) ≠ 0, דעמאָלט δו און די עקוויוואַלענט (ווען δה → 0); אויב ו '(X) = 0 (טייַטש און די = 0), זיי זענען נישט עקוויוואַלענט.
למשל, אויב י = X 2, דעמאָלט δו = (X + δה) 2 ─ רענטגענ 2 = 2קסδה, + δה 2 און די = 2קסδה. אויב רענטגענ = 3, דעמאָלט מיר האָבן δו = 6δה, + δה 2 און די = 6δה וואָס זענען עקוויוואַלענט רעכט δה 2 → 0, ווען רענטגענ = 0 ווערט δו = δה 2 און די = 0 זענען נישט עקוויוואַלענט.
דעם פאַקט, צוזאַמען מיט די פּשוט סטרוקטור פון די דיפפערענטיאַל (עם. י לינעאַריטי מיט רעספּעקט צו δה), איז אָפֿט געניצט אין דערנענטערנ זיך כעזשבן, אויף די האַשאָרע אַז δו ≈ די פֿאַר קליין δה. געפינען די דיפפערענטיאַל פֿונקציע איז יוזשאַוואַלי גרינגער ווי צו רעכענען די פּינטלעך ווערט פון די ינקראַמאַנט.
לעמאָשל, מיר האָבן מאַטאַליק קוב מיט ברעג רענטגענ = 10.00 סענטימעטער. אויף באַהיצונג די ברעג לענגקטאַנד אויף δה = 0.001 סענטימעטער. ווי געוואקסן באַנד קוב וו? מיר האָבן V = רענטגענ 2, אַזוי אַז דוו = 3 קס 2 = δה 3 ∙ ∙ פעברואַר 10 0/01 = 3 (סענטימעטער 3). געוואקסן δוו עקוויוואַלענט דיפפערענטיאַל דוו, אַזוי אַז δוו = 3 סענטימעטער 3. גאַנץ כעזשבן וואָלט געבן 3 δוו = 10,01 ─ מאַרץ 10 = 3.003001. אבער דער רעזולטאַט פון אַלע דידזשאַץ חוץ דער ערשטער אַנרילייאַבאַל; דעריבער, עס איז נאָך נייטיק צו קייַלעכיק אַרויף צו 3 סענטימעטער 3.
דאָך, דעם צוגאַנג איז נוצלעך בלויז אויב עס איז מעגלעך צו אָפּשאַצן די ווערט ימפּאַרטעד מיט טעות.
דיפפערענטיאַל פֿונקציע: יגזאַמפּאַלז
זאל ס פּרובירן צו געפֿינען די דיפפערענטיאַל פון די פֿונקציע י = רענטגענ 3, דערגייונג די דעריוואַט. זאל אונדז געבן די אַרגומענט ינקראַמאַנט δו און דעפינירן.
Δו = (δה + x) 3 ─ רענטגענ 3 = 3 קס 2 + δה (δה 3קסδה 2 3).
דאָ, די קאָעפפיסיענט א = 3 קס 2 טוט ניט אָפענגען אויף δה, אַזוי אַז דער ערשטער טערמין איז פּראַפּאָרשאַנאַל δה, די אנדערע מיטגליד 3קסδה δה 2 3 ווען δה → 0 דיקריסאַז Faster ווי די ינקראַמאַנט פון די אַרגומענט. דעריבער, אַ מיטגליד פון 3 קס 2 δה איז די דיפפערענטיאַל פון י = רענטגענ 3:
די = 3 קס 2 δה = 3 קס 2 דקס אָדער די (רענטגענ 3) = 3 קס 2 דקס.
ווערין ד (רענטגענ 3) / דקס = 3 קס 2.
די מיר איצט געפינען די פֿונקציע י = 1 / רענטגענ דורך די דעריוואַט. דעמאָלט ד (1 / רענטגענ) / דקס = ─1 / רענטגענ 2. דעריבער די = ─ δה / רענטגענ 2.
דיפפערענטיאַלס יקערדיק אַלדזשאַבריייק פֿעיִקייטן זענען געגעבן ווייטער.
דערנענטערנ זיך חשבונות ניצן דיפפערענטיאַל
צו אָפּשאַצן די פֿונקציע ו (X), און זייַן דעריוואַט ו '(רענטגענ) בייַ רענטגענ = אַ איז אָפֿט שווער, אָבער צו טאָן די זעלבע אין דער געגנט פון רענטגענ = אַ איז נישט גרינג. דעמאָלט קומען צו די הילף פון די דערנענטערנ זיך אויסדרוק
פֿ '(א + δה) ≈ ו' (אַ) δה, + פֿ '(אַ).
דעם גיט אַ דערנענטערנ ווערט פון די פֿונקציע אין קליין ינגקראַמאַנץ דורך זייַן דיפפערענטיאַל δה ו '(אַ) δה.
דעריבער, דעם פאָרמולע גיט אַ דערנענטערנ זיך אויסדרוק פֿאַר די פֿונקציע אין די סוף פונט פון אַ חלק פון אַ לענג δה ווי אַ סאַכאַקל פון זייַן ווערט אין די סטאַרטינג פונט פון די חלק (X = אַ) און די דיפפערענטיאַל אין דער זעלביקער סטאַרטינג פונט. אַקיעראַסי פון דעם אופֿן פֿאַר דיטערמאַנינג די וואַלועס פון די פֿונקציע אונטן ילאַסטרייץ די צייכענונג.
אָבער באקאנט און די פּינטלעך אויסדרוק פֿאַר די ווערט פון די פֿונקציע רענטגענ = א + δה געגעבן דורך פאָרמולע ענדלעך ינגקראַמאַנץ (אָדער, אָלטערנאַטיוולי, Lagrange ס פאָרמולע)
פֿ '(א + δה) ≈ ו' (ξ) δה, + פֿ '(אַ),
ווו די פונט רענטגענ = א + ξ איז אין די מעהאַלעך פון רענטגענ = אַ צו רענטגענ = א + δה, כאָטש זייַן פּינטלעך שטעלע איז אומבאַקאַנט. די פּינטלעך פאָרמולע אַלאַוז צו אָפּשאַצן די טעות פון די דערנענטערנ פאָרמולע. אויב מיר שטעלן אין די Lagrange פאָרמולע ξ = δה / 2, כאָטש עס סיסיז צו זיין פּינטלעך, אָבער גיט, ווי אַ הערשן, אַ פיל בעסער צוגאַנג ווי דער אָריגינעל אויסדרוק אין טערמינען פון די דיפפערענטיאַל.
עוואַלואַטיאָן פאָרמולאַס טעות דורך אַפּלייינג דיפפערענטיאַל
מעאַסורינג ינסטראַמאַנץ , אין פּרינציפּ, ומפּינקטלעך, און ברענגען צו די מעאַסורעמענט דאַטן קאָראַספּאַנדינג צו די טעות. זיי זענען קעראַקטערייזד דורך לימאַטינג די אַבסאָלוט טעות, אָדער, אין קורץ, די שיעור טעות - בעפיירעש, קלאר יקסידינג די טעות אין אַבסאָלוט ווערט (אָדער אין רובֿ גלייַך צו עס). לימיטינג די קאָרעוו טעות איז האָט גערופֿן דעם וויפלטער דערגרייכט דורך דיוויידינג עס דורך די אַבסאָלוט ווערט פון די געמאסטן ווערט.
זאל פּינטלעך פאָרמולע י = פֿ '(X) פֿונקציע געניצט צו וויטשיסליאַענייאַ י, אָבער די ווערט פון רענטגענ איז די מעזשערמאַנט רעזולטאַט, און דעריבער ברענגט די י טעות. דעריבער, צו געפינען די לימאַטינג אַבסאָלוט טעות │δו│פונקציי י, ניצן די פאָרמולע
│δו│≈│די│ = │ ו '(רענטגענ) ││δה│,
ווו │δה│יאַווליאַעציאַ מאַרדזשאַנאַל טעות אַרגומענט. │δו│ קוואַנטיטי מוזן זיין ראַונדיד אַפּווערדז, ווי ומפּינקטלעך כעזשבן זיך איז דער פאַרבייַט פון די ינקראַמאַנט אויף די דיפפערענטיאַל כעזשבן.
Similar articles
Trending Now