מאַקלאַורין און דיקאַמפּאָוזישאַן פון עטלעכע פֿעיִקייטן

געלערנט אַוואַנסירטע מאטעמאטיק זאָל זיין אַווער אַז די סאַכאַקל פון אַ מאַכט סעריע אין די מעהאַלעך פון קאַנווערדזשאַנס פון אַ נומער פון אונדז, איז אַ קעסיידערדיק און אַנלימאַטאַד נומער פון מאל אַ דיפפערענטיאַטעד פֿונקציע. די קשיא ערייזאַז: איז עס מעגלעך צו טייַנען אַז געגעבן אַ אַרבאַטרערי פֿונקציע פֿ '(X) - איז דער סאַכאַקל פון אַ מאַכט סעריע? אַז איז, אונטער וואָס טנאָים די עף-טיאָנס פֿ '(רענטגענ) קענען זיין רעפּריזענטיד דורך אַ מאַכט סעריע? די וויכטיקייט פון דעם אַרויסגעבן איז אַז עס איז מעגלעך צו פאַרבייַטן בעערעך £ טהעאָלאָגיקאַל פֿ '(X) איז די סאַכאַקל פון דער ערשטער ווייניק ווערטער פון אַ מאַכט סעריע, וואָס איז אַ פּאַלינאָומיאַל. אַזאַ אַ פאַרבייַט פֿונקציע איז גאַנץ פּשוט אויסדרוק - פּאַלינאָומיאַל - איז באַקוועם און אין סאַלווינג זיכער פּראָבלעמס אין מאַטאַמאַטיקאַל אַנאַליסיס, ניימלי אין סאַלווינג ינטעגראַלס ווען קאַלקיאַלייטינג דיפפערענטיאַל יקווייזשאַנז , עטק ...

עס איז פּרוווד, אַז פֿאַר עטלעכע ו-וו פֿ '(X), ווערין דער דעריוואַטיווז פון די (N, + 1) -טה סדר קענען זיין קאַלקיאַלייטיד, כולל די לעצט אין דער געגנט פון (α - ר; רענטגענ ₀ + ר) פון אַ פונט רענטגענ = α שיין פאָרמולע איז:

דעם פאָרמולע איז געהייסן נאָך די באַרימט געלערנטער ברוק טיילער. א נומער פון וואָס איז דערייווד פון די פֿריִערדיקע איינער, איז גערופֿן אַ מאַקלאַורין סעריע:

א הערשן אַז מאכט עס מעגלעך צו פּראָדוצירן יקספּאַנשאַן אין אַ מאַקלאַורין סעריע:

1. באַשטימען דעריוואַטיווז פון ערשטער, רגע, דריט, ... סדר.
2. רעכענען וואָס זענען דעריוואַטיווז ביי רענטגענ = 0.
3. רעקאָרד מאַקלאַורין סעריע פֿאַר דעם פֿונקציע, און דעריבער צו באַשליסן די מעהאַלעך פון קאַנווערדזשאַנס.
4. באַשטימען מעהאַלעך (-R; ר), ווו די ריזידזשואַל טייל פון פאָרמולע מאַקלאַורין

ר _N (רענטגענ) -> 0 פֿאַר N -> ומענדיקייַט. אויב איינער יגזיסץ, עס פֿונקציע פֿ '(X) מוזן זיין גלייַך צו די סאַכאַקל פון די מאַקלאַורין סעריע.

באַטראַכטן איצט די מאַקלאַורין סעריע פֿאַר דעם יחיד פֿעיִקייטן.

1. אזוי, דער ערשטער צו זייַן פֿ '(X) = E ^{רענטגענ.} פון קורס, אַז זייער טשאַראַקטעריסטיקס אַזוי F-יאַ האט דערייווד אַ פאַרשיידנקייַט פון אָרדערס, און פֿ ^{'(ק) (רענטגענ)} = E ^{רענטגענ,} ווו ק איז גלייַך צו אַלע די נאַטירלעך נומערן. פאַרטרעטער רענטגענ = 0. מיר קריגן פֿ ^{'(ק) (0)} = E ⁰ = 1, ק = 1,2 ... באַזירט אויף דעם פאָרעגאָינג, אַ נומער פון און ^{רענטגענ} עס וועט זיין ווי גייט:

2. מאַקלאַורין סעריע פֿאַר די פֿונקציע פֿ '(X) = זינד רענטגענ. מיד ספּעציפיצירן אַז F-טיאָנס פֿאַר אַלע אומבאַקאַנט דעריוואַטיווז וועט האָבן, חוץ ו ^'(X) = קאָס רענטגענ = זינד (X + N / 2), ^{ו' '(X)} = -סין רענטגענ = זינד (רענטגענ + 2 * N / ²⁾ ..., ו ^{(ק) (רענטגענ)} = זינד (רענטגענ + N * ק / 2), ווו ק איז גלייַך צו קיין positive ינטאַדזשער. אַז איז, מאכן פּשוט חשבונות, מיר קענען פאַרענדיקן אַז די סעריע פֿאַר עף (רענטגענ) = זינד רענטגענ וועט זיין ווי דעם:

3. איצט לאָזן ס באַטראַכטן ידזשו F-עף (רענטגענ) = קאָס רענטגענ. עס איז אומבאַקאַנט פֿאַר אַלע דעריוואַטיווז פון אַרבאַטרערי סדר, און ^{| פֿ '(ק) (רענטגענ)} | = | קאָס (X + ק * N / 2) | <= 1, ק = 1,2 ... ווידער, עס האבן געמאכט עטלעכע חשבונות, מיר געפֿינען אַז די סעריע פֿאַר עף (רענטגענ) = קאָס רענטגענ וועט קוקן ווי דעם:

אַזוי, מיר האָבן ליסטעד די מערסט וויכטיק פֿעיִקייטן אַז קענען זיין יקספּאַנדאַד אין אַ מאַקלאַורין סעריע, אָבער זיי דערגאַנג די טיילער סעריע פֿאַר עטלעכע פֿעיִקייטן. איצט מיר וועט רשימה זיי ווי געזונט. עס זאָל אויך זיין אנגעוויזן אַז טיילער סעריע און מאַקלאַורין סעריע זענען אַ וויכטיק טייל פון דעם וואַרשטאַט סעריע פון דיסיזשאַנז אין העכער מאטעמאטיק. אַזוי, טיילער סעריע.

1. דער ערשטער איז אַ סעריע פון F-וו פֿ '(X) = LN (1 + x). ווי אין די פֿריִערדיקע יגזאַמפּאַלז, פֿאַר דעם מיר פֿ '(X) = LN (1 + x) קענען זיין פאָלדעד אַ נומער, ניצן די גענעראַל פאָרעם פון מאַקלאַורין סעריע. אָבער פֿאַר דעם שטריך מאַקלאַורין קענען ווערן דערגרייכט פיל גרינגער. ינטאַגרייטינג אַ דזשיאַמעטריק סעריע, מיר קריגן אַ נומער פֿאַר עף (רענטגענ) = LN (1, + רענטגענ) פון די מוסטער:

2. און די רגע, וואָס וועט זיין לעצט אין דעם אַרטיקל, וועט זיין אַ סעריע פֿאַר עף (רענטגענ) = אַרקטג רענטגענ. פֿאַר רענטגענ בילאָנגינג צו די מעהאַלעך [-1; 1] איז גילטיק דיקאַמפּאָוזישאַן:

אַז ס אַלע. אין דעם אַרטיקל איך האָבן סערווייד די מערסט געוויינט טיילער סעריע און מאַקלאַורין סעריע אין העכער מאטעמאטיק, דער הויפּט אין די עקאָנאָמיש און טעכניש קאַלידזשיז.