דעריוואַטיוועס פון נומערן: כעזשבן מעטהאָדס און ביישפילן

טאָמער דער באַגריף פון דעריוואַט איז באַקאַנט צו אַלע פון אונדז זינט הויך שולע. וסואַללי, סטודענטן האָבן שוועריקייט פֿאַרשטיין דעם, בליענדיק, זייער וויכטיק זאַך. עס איז אַקטיוולי געניצט אין פארשיידענע געביטן פון מענטשן 'ס לעבן, און פילע ינזשעניעריע דעוועלאָפּמענט זענען באזירט אויף מאַטאַמאַטיקאַל חשבונות באקומען מיט די הילף פון אַ דעריוואַט. אבער איידער מיר גיין איבער צו די אַנאַליסיס פון וואָס די דעריוואַטיוועס פון נומערן, ווי צו רעכענען זיי, און ווו זיי וועלן זיין נוצלעך צו אונדז, מיר וועלן פּלאַנדזשע אַ ביסל אין געשיכטע.

געשיכטע

די קאָנסעפּט פון דעריוואַטיווע, וואָס איז די גרונט פון מאַטאַמאַטיקאַל אַנאַליסיס, איז געווען עפענען (עס איז אַפֿילו בעסער צו זאָגן "ינווענטאַד", ווייַל אין נאַטור עס ווי אַזאַ האט ניט עקסיסטירן) דורך יצחק נוטאַן, וואָס מיר אַלע וויסן דורך די אַנטדעקן פון די געזעץ פון וניווערסאַל גראַוויטאַטיאָן. עס איז געווען ער וואס ערשטער געווענדט דעם באַגריף אין פיזיק צו פֿאַרבעסערן די נאַטור פון גיכקייַט און אַקסעלעריישאַן פון גופים. און פילע סייאַנטיס נאָך לויב נעווטאָן פֿאַר דעם ויסגעצייכנט דערפינדונג, ווייַל אין פאַקט ער ינווענטיד די יקער פון דיפערענטשאַל און ינטאַגראַל קאַלקולוס, אין פאַקט דער יסוד פון אַ גאַנץ פעלד פון מאטעמאטיק גערופן "מאַטאַמאַטיקאַל אַנאַליסיס." צי אין דעם צייַט די נאָבעל פרייז, נוטאַן וואָלט רובֿ מסתּמא האָבן באקומען עס עטלעכע מאל.

ניט אָן די אנדערע גרויסע מחשבות. אין דערצו צו נעווטאָן, אַזאַ ריזיקירן גענעסיס פון מאטעמאטיק ווי לעאָנאַרד עולער, לוי לאַגראַנדע און גאַטפריעד לעיבניז געארבעט אויף דער אַנטוויקלונג פון דעריוואַטיווע און ינטעגראַל. עס איז דאַנק צו זיי מיר האָבן די טעאָריע פון דיפפערענטיאַל קאַלקולוס אין די פאָרעם אין וואָס עס יגזיסץ צו דעם טאָג. דורך די וועג, דעם לעיבניז דיסקאַווערד דער געאָמעטריק טייַטש פון די דעריוואַט, וואָס פארקערט אויס צו זיין גאָרנישט מער ווי די טאַנגענט פון די ווינקל פון יונגקייט פון די טאַנגענט צו די גראַפיק פון די פונקציע.

וואָס זענען די דערייווד נומערן? מיר וועלן איבערחזרן אַ ביסל וואָס דורכגעגאנגען אין שולע.

וואָס איז אַ דעריוואַט?

איר קענען דעפינירן דעם באַגריף אין עטלעכע פאַרשידענע וועגן. די סימפּלאַסט דערקלערונג: די דעריוואַט איז דער קורס פון טוישן פון אַ פֿונקציע. מיר פאָרשטעלן דעם גראַפיק פון עטלעכע פונקציאָנירן י פון X. אויב דאָס איז ניט אַ גלייַך שורה, עס האט עטלעכע בענדס אין די גראַפיק, פּיריאַדז פון ינקריסינג און דיקריסינג. אויב מיר נעמען אַ ינפאַנאַטלי קליין מעהאַלעך פון דעם גראַפיק, עס וועט זיין אַ גלייַך שורה אָפּשניט. אַזוי, די פאַרהעלטעניש פון די גרייס פון דעם ינפאַנאַטלי קליין אָפּשניט צוזאמען די קאָואָרדאַנאַט י צו די גרייס פון די קאָואָרדאַנאַט רענטגענ וועט זיין די דעריוואַט פון די געגעבן פונקציע בייַ אַ געגעבן פונט. אויב מיר באַטראַכטן די פונקציע ווי אַ גאַנץ, און נישט בייַ אַ באַזונדער פונט, דעמאָלט מיר באַקומען אַ פונקציע פון דעריוואַטיווע, וואָס איז, אַ זיכער אָפענגיקייַט פון די שפּיל אויף רענטגענ.

אין דערצו צו די גשמיות טייַטש פון דייוואַטיווע ווי די קורס פון טוישן פון די פונקציע, עס איז אויך אַ געאָמעטריקאַל טייַטש. וועגן אים, מיר איצט רעדן.

געאָמעטיש טייַטש

דעריוואַטיוועס פון נומערן אין זיך פאָרשטעלן אַ זיכער נומער, וואָס אָן געהעריק פארשטאנד טוט נישט מאַכן קיין זינען. עס טורנס אויס אַז די דעריוואַט ניט בלויז ווייזט די קורס פון וווּקס אָדער פאַרקלענערן פון די פאַנגקשאַנז, אָבער אויך די טאַנגענט פון די שיפּוע פון דעם טאַנגענט צו די גראַפיק פון די פונקציע בייַ אַ געגעבן פונט. נישט גאַנץ קלאָר דעפֿיניציע. זאל אונדז ונטערזוכן עס אין מער דעטאַל. רעכן מיר האָבן אַ גראַפיק פונקציאָנירן (פֿאַר אינטערעס, לאָזן אַ ויסבייג). עס האט אַ ינפאַנאַט נומער פון פונקטן, אָבער עס זענען געביטן ווו בלויז איין פונט האט אַ מאַקסימום אָדער אַ מינימום. דורך אַזאַ אַ פונט, איר קענען צייכענען אַ שורה וואָס איז פּערפּענדיקולאַר צו די גראַפיק פונקציאָנירן אין דעם פונט. אַזאַ אַ שורה וועט זיין גערופן אַ טאַנגענט. רעכן מיר עס צו די ינטערסעקשאַן מיט די אָקס אַקס. אַזוי, די ווינקל צווישן די טאַנגענט און די אָקס אַקס וועט זיין באשלאסן דורך די דעריוואַט. אָדער אלא, די טאַנגען פון דעם ווינקל וועט זיין גלייַך צו עס.

זאל אונדז רעדן אַ ביסל וועגן באַזונדער פאלן און פונאַנדערקלייַבן די דערייווד נומערן.

ספּעציעלע קאַסעס

ווי מיר האָבן שוין געזאגט, די דעריוואַטיוועס פון נומערן זענען די וואַלועס פון דעריוואַטיווע בייַ אַ באַזונדער פונט. דאָ, למשל, נעמען די פֿונקציע י = X ^2. די דעריוואַט רענטגענ איז אַ נומער, און אין דער אַלגעמיין פאַל אַ פונקציע גלייַך צו 2 * רענטגענ. אויב מיר דאַרפֿן צו רעכענען די דעריוואַט, למשל, אין די פונט רענטגענ ₀ = 1, מיר באַקומען י '(1) = 2 * 1 = 2. עס איז זייער פּשוט. אַ טשיקאַווע פאַל איז די דעריוואַט פון דעם קאָמפּלעקס נומער. מיר וועלן נישט גיין אין אַ דיטיילד דערקלערונג פון וואָס אַ קאָמפּלעקס נומער איז. זאל ס נאָר זאָגן אַז דאָס איז אַ נומער וואָס כּולל די אַזוי גערופענע ויסגעטראַכט אַפּאַראַט - אַ נומער וועמענס קוואַדראַט איז -1. דער חשבון פון אַזאַ אַ דעריוואַט איז מעגלעך בלויז אויב די פאלגענדע טנאָים זענען פאָרשטעלן:

1) דארף עקסיסטירן פערמאל דעריוואַטיוועס פון דער ערשטער סדר פון די פאַקטיש און ויסגעטראַכטע טיילן אין דעם שפּיל און אין די X.

2) די קאַוטשי-ריעמאַנן טנאָים זענען מקיים, פארבונדן מיט די יקוואַלאַטי פון די פּאַרטיייש דעריוואַטיווז דיסקרייבד אין דער ערשטער פּאַראַגראַף.

אן אנדער טשיקאַווע פאַל, כאָטש ניט ווי קאָמפּלעקס ווי די פריערדיקע איינער, איז דער דעריוואַט פון אַ נעגאַטיוו נומער. אין פאַקט, קיין נעגאַטיוו נומער קענען ווערן רעפּריזענטיד ווי positive, געמערט דורך -1. אבער די דעריוואַט פון די קעסיידערדיק און די פונקציע איז גלייַך צו די קעסיידערדיק געמערט דורך דייוואַטיוו פון די פונקציע.

עס וועט זיין טשיקאַווע צו לערנען וועגן דער ראָלע פון דייוואַטיווע אין וואָכעדיק לעבן, און דאָס איז וואָס מיר איצט דיסקוטירן.

אַפּפּליקאַטיאָן

מיסטאָמע, יעדער פון אונדז אין מינדסטער אַמאָל אין לעבן קאַטשאַז זיך טראכטן אַז מאטעמאטיק איז קוים נוציק צו אים. און אַזאַ אַ קאָמפּלעקס זאַך ווי דעריוואַטיווע, מיסטאָמע, קיין אַפּלאַקיישאַן בייַ אַלע. אין פאַקט, מאטעמאטיק איז אַ פונדאַמענטאַל וויסנשאַפֿט, און אַלע פירות זענען דעוועלאָפּעד מערסטנס דורך פיזיק, כעמיע, אַסטראָנאָמיע און אַפֿילו עקאָנאָמיק. דעריוואַט אנגעצייכנט די אָנהייב פון מאַטאַמאַטיקאַל אַנאַליסיס, וואָס האט אונדז די געלעגנהייט צו ציען קאַנקלוזשאַנז פון די Graphs פון פֿעיִקייטן, און מיר האָבן געלערנט צו טייַטשן די געזעצן פון נאַטור און קער זיי צו זייער מייַלע ווייַל פון עס.

מסקנא

פון קורס, ניט אַלעמען קען דאַרפֿן אַ דעריוואַט אין פאַקטיש לעבן. אבער מאטעמאטיק אַנטוויקלט אַ לאָגיק וואָס וועט זיכער זיין דארף. עס איז נישט פֿאַר גאָרנישט אַז מאטעמאטיק איז גערופן די מלכּה פון ססיענסעס: עס פארמען די גרונט פֿאַר פארשטאנד אנדערע געביטן פון וויסן.